用 Dorito 中的柠檬黄让鸡胸肉部分透明，并推导折射率匹配原理

感谢 Adaobi 提出的精彩建议。这个点子完全归功于她，我们还在努力实现中！

我那位天才朋友 Adaobi Adibe 给我发了一篇关于使生物组织变透明的论文。在 "通过吸收性分子在活体动物中实现光学透明" 中，作者通过将鸡胸肉等生物组织浸泡在柠檬黄溶液中使它们变得透明。柠檬黄是一种非常鲜艳的黄橙色食用染料，在 Doritos 薯片中就含有它。

我们打算很快进行一次更具野心的重复实验。不过作为预热，我先尝试将鸡胸肉浸泡在柠檬黄溶液中以部分复现该方案。我获得了一定程度的透明度，但未达到论文中的程度。下面的样品是从一片 5 毫米厚的生鸡胸肉切片中切下的约 2 毫米厚的薄片，已在约 0.19 M 的柠檬黄溶液中于室温下浸泡 6 小时。我用台灯拍下了这张图。你可以看到下方的网格线透过样品显现出来。虽然触感质地依然相同，但这块鸡肉在视觉上呈现出类似软糖的质感。

原论文使用了 0.62 M、40 °C 以及摇床，但我既没找到安全操作的方法，也没有相应的设备。因此我修改了实验方案。

下面这张图是我样品的另一个角度。左边的样品与上面相同，是 2 毫米厚的鸡胸肉切片。右边的样品是对照组，浸泡在水中（它略显黄色，这是因为操作过程非常凌乱，灰尘落在了上面）。

在样品的顶部确实可以看到一些透明度，5 毫米 × 5 毫米的网格清楚地透了出来。鸡胸肉在视觉上呈现出类似软糖的质感。如果它不会让我感染沙门氏菌，还真有点想咬一口。

我可不想被 Doritos 起诉侵权，所以这里用一幅漫画来展示在自然界中哪里可以找到柠檬黄。

这是如何起作用的？

我们目前的模型认为，柠檬黄的吸收特性也会改变水的折射率。通过将水的折射率推向蛋白质和脂质溶液的折射率，我们可以使物体变得更加透明。稍后我将对此进行详细解释。

柠檬黄采购自 APC Pure。其染料含量 >80%，这意味着实际摩尔浓度存在一定的不确定性。随后我按以下摩尔浓度配制了三种柠檬黄溶液，其中一组为 0 浓度作为对照。

• 柠檬黄：0 克，自来水：20 克，质量比：0%，摩尔浓度（mol/kg 水）：0，柠檬黄（mmol）：0，摩尔浓度（约）：0 M（对照）

• 柠檬黄：2 克，自来水：18 克，质量比：10%，摩尔浓度（mol/kg 水）：0.21，柠檬黄（mmol）：3.7，摩尔浓度（约）：~0.19 M

• 柠檬黄：6 克，自来水：14 克，质量比：30%，摩尔浓度（mol/kg 水）：0.80，柠檬黄（mmol）：11.2，摩尔浓度（约）：~0.56 M

柠檬黄的摩尔质量 M = 534.4 g/mol。摩尔数按标称质量计算（由于粉末染料含量 >80%，实际数值可能低 ~15%）。摩尔浓度假设最终溶液体积约为 20 毫升。

这就是柠檬黄的外观。它没有气味，并且似乎被 FDA 认定为食品级安全，所以这一步我懒得戴手套。下面是柠檬黄及其规格的图片。

• 产品：Tartrazine E102 FG，C.I. 19140

• 染料含量：>80%

• 分子式：C16H9N4Na3O9S2

• 分子量: 534.37 g/mol

• λmax (在水中): 425 nm

• 水不溶物: <0.20%

• 副染料: <1.00%

• 重金属 (以 Pb 计): <40 mg/kg

为了配制这些溶液，我用珠宝秤称出合适的量，然后按照表中列出的重量加入自来水。

为了溶解柠檬黄，我在室温下用玻璃搅拌棒搅拌，直到看不到明显的结块。¹

下面是不同浓度的溶液，最浓的在左边，中间浓度的在中间，右边是水对照。

接下来，我从 Tesco 买来了鸡胸肉。我切了一块 5 毫米厚的肉片，然后从中切出三块长度约 15 毫米的肉块。

然后我把 5 毫米厚的鸡胸肉片分别浸泡在三种溶液中。

浸泡 6 小时后，结果如下。

首先，最高浓度溶液中的鸡肉出现了问题，因为柠檬黄似乎结晶了。这就是它的样子——表面变得满是硬壳。

对于中间浓度（~0.19 M），鸡肉看起来像胶状。但它并不透明。对照组的鸡肉仍然完全不透明。

我把这些肉块扔掉，然后用下面的方法重新尝试。

然后我用同样的步骤重新尝试，目标是在室温下浸泡 12 小时。考虑到最高浓度（~0.56 M）的问题，我只尝试了水对照和中间浓度（~0.19 M）。但这一次，我把鸡肉放在试管中并盖上盖子，因为我要在室温下放置 12 小时。我想降低食品安全风险。

这是浸泡了 12 小时的肉块。虽然用相机很难看清，但与对照组相比，它有轻微的可见半透明感。

为了观察它，我把它放在上方的光源下。

然后我切了大约 2 毫米厚的鸡肉片。用这块小小的黏滑的肉来切相当困难。这就是它与对照组对比的样子。

这项技术已被用于让活体动物的荧光成像变得更加容易。

对我而言，如果能把这件事做好，可以增加独立科学家在家能够成像的事物范围。我们也许能够更随意地探测物体的内部结构。变得透明可以带来更好的图像，并让独立科学家能够更近距离地观察组织结构。

以低成本进行有效的观察是我研究的主题之一。我在上一篇文章中写过用我的显微镜为布朗运动粒子编写追踪软件。我也在考虑尝试用压力来匹配二氧化碳气体传感的性能，这将使这种类型的传感更便宜。按照这个主题，我对尝试各种奇特又酷炫的技术来让结构更容易探测感到非常兴奋！

以下是关于光学透明度的、比你想知道的还要多的内容。

材料不透明有两个原因。首先，材料可以吸收光并阻挡它。其次，由于折射率不同，材料会使光发生散射。

首先，来自另一侧的光线在穿过时可能会被吸收。如果光被吸收，光就无法进入你的眼睛，你也就看不到另一侧。光可以具有多种波长，材料吸收的波长由材料的光谱决定。为了计算光谱，我们可以把分子的物理行为近似为一个电子在势场中的运动。薛定谔方程告诉我们，这个系统只能占据一组离散的能量，并告诉我们这些能量分别是多少。这些能量之间的差值决定了最终被材料吸收的波长。

实际上，材料由许多不同的物质组成，因此我们预期它们也会吸收不同的波长。

另一个不那么明显但更有趣的原因是材料的不透明度。材料的折射率告诉我们光在介质中传播的速度。当光在不同折射率的材料之间传播时，它会发生轻微偏转。当一种材料内部充满了具有不同折射率的子材料时，其内部的折射会导致光线四处弹跳，从而发生散射。

生物材料内部包含多种不同的子材料——纤维、细胞、蛋白质等等。每种材料都具有不同的折射率。当一种具有某种折射率的材料嵌入另一种具有不同折射率的材料中时，就会产生散射。这种散射会使来自另一侧的光变得杂乱无章。下方示意图展示了这一点。

我们可以将生物材料建模为一个以水作为"基础材料"、其中嵌入蛋白质和脂质块状物的体系，它们各自具有不同的折射率。

为了使某种东西变得透明，我们需要利用造成不透明的两个原因。一种方法是尝试改变材料的吸收光谱，使其吸收更少波长的光。

另外（也是本文将要介绍的方法），我们可以尝试改变内部水的折射率，使其与嵌入的介质相匹配。下图展示了这一原理在生物组织中的应用。如果你能够用染料改变水的折射率，就可以将其与略高于水的蛋白质和脂质的折射率匹配起来。

如果你能在不改变材料吸收特性的情况下做到这一点，就能够让材料变得更加透明。

好的，所以关键就在于改变折射率。下面是我们为了找出如何改变材料折射率所需进行的计算导览图。

为了理解折射率在定量模型中所起的作用，让我们用麦克斯韦方程组来建模光的传播。光是一种电磁波，由振荡的电场和磁场组成。在本文中，让我们聚焦于电场部分来获得关键的直觉。

使用复数表示法，如果光沿 z 轴传播，在真空中，我们可以把光的方程写成下面这样。由于它是一种波，我们可以写成

\(E(z, t) = E_0 \cos\!\left(\frac{\omega z}{c} - \omega t\right)\)

但为了方便起见，我们使用复数

\(E(z, t) = \mathrm{Re}\left\{ E_0\, e^{\,i\omega z / c \;-\; i\omega t} \right\}\)

其中 E₀ 是振幅（场强的大小），ω 是角频率（在固定点上，场每经过 T = 2π/ω 完成一次循环），c 是光速，z 是沿光束的距离，t 是时间。从一个波峰到下一个波峰，波长为 λ = 2πc/ω。

然而在介质中，我们预期光速会在介质中发生变化，同时也会产生一些吸收。我们可以将方程改写如下

\(E(z, t) = \mathrm{Re}\left\{ E_0\, e^{\,i(n' + i\kappa)\,\omega z / c \;-\; i\omega t} \right\} = \mathrm{Re}\left\{ E_0\, e^{-\kappa \omega z / c}\, e^{\,i(n' \omega z / c \;-\; \omega t)} \right\}\)

指数中的系数 n′ 是空间项的乘数，代表实折射率。κ 表示波的衰减程度，用来表示吸收。

实际上我们可以将 n′ + iκ 合并为一个数，然后将其称为复折射率。

\(n_c = n' + i\kappa\)

首先我们需要尝试改变实折射率。如果我们能将水的折射率提高到与组织的折射率匹配，我们就能得到更透明的材料。水的折射率为 1.33。虽然这个数值是可变的，但富含蛋白质和脂质的结构折射率约为 1.45。因此，关键是将周围水的折射率向 1.45 调整，这样就能使其更加透明。

无论我们对水做什么，都需要确保不会让吸收特性过高。如果 κ 变得太大，我们就会吸收掉所有的光，使其无法变得透明。

那么我们如何改变折射率呢？要理解折射率，我们首先需要理解极化。在一级近似下，材料由束缚在原子核上的电子组成。当电场施加于材料时，电子相对于其原子核的位置会发生变化。

来自 [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/dielec.html#c1]

对于一个带正电粒子和一个带负电粒子，极化就是该电荷的大小乘以两者之间的位移。为了计算极化强度，我们需要模拟电子在电场作用下相对于原子核的位移距离。

电场对自由电荷施加作用力。为了模拟电场对材料的影响，我们将带正电的原子核视为固定的，而电子视为自由的。为了计算该系统的效应，我们将使用洛伦兹振子模型。

在这个模型中，电子被建模为像阻尼弹簧一样束缚在原子核上，而电场施加一个驱动力。我们可以像求解阻尼弹簧问题那样精确地求解：

对于电子的牛顿第二定律，光场以 ω 振荡：

\(m\ddot{x} = -m\omega_0^2\, x \;-\; m\gamma\,\dot{x} \;-\; e\,E_0\, e^{-i\omega t}\)

如果我们尝试用电子位置的试解 x(t) = x₀ e^(−iωt)（电子以驱动频率振荡），我们可以得到电子相对于原子核的位置由以下表达式给出。

\(x(t) = \frac{-e/m}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega}\; E(t)\)

偶极矩为 p = −ex，对于单位体积内有 N 个电子，单位体积的极化强度为

\(\mathbf{P} = N p = \frac{N e^2/m}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega}\; \mathbf{E}\)

在这个设定中，ω₀ 代表束缚电子的固有频率，也就是分子吸收的频率（对于柠檬黄，对应 425 nm 的吸收峰），γ 代表阻尼率，决定了该吸收峰的宽窄，而 ω 是电场的频率。现在我们已经得到了极化率，我们想把它与折射率本身联系起来。为此，我们需要用两个恒等式做一些推导。

按照惯例，极化可以写成与电场成正比

\(\mathbf{P} = \varepsilon_0\,\chi\,\mathbf{E}\)

其中 ε₀ 是真空介电常数，χ 是电极化率（一个无量纲数，表示材料被极化的难易程度），E 是电场。与上面的洛伦兹振子结果对比，

\(\chi(\omega) = \frac{N e^2/(\varepsilon_0 m)}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega}\)

为了将极化和电极化率与折射率联系起来，我们使用以下技巧。下面的内容是借助 AI 完成的证明，并经过人工核查。

这种极化程度和电场被编码在电位移场 D中。D 和电场之间的关系是线性的，这个系数称为相对介电常数 εᵣ。这里的P 代表单位体积的极化，是整个材料中感应偶极矩的平均值。

\(\mathbf{D} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf{E} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}\)

事实证明，相对介电常数与复折射率的关系如下：

\(n_c^2 = (n' + i\kappa)^2 = \varepsilon_r\)

标准电波的折射率与介电常数之间关系的证明是标准的，见下面的脚注。² 因此，要改变复折射率，就需要改变材料的相对介电常数。

接下来，我们使用一个近似方法。电位移场是材料极化率的函数。但当我们把两种材料混合时，可以将它们的极化密度相加。

在加入柠檬黄之前，水满足

\(\mathbf{D} = \varepsilon_0\,\varepsilon_{r,\mathrm{water}}\,\mathbf{E} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}_{\mathrm{water}}\)

然后加入染料后，得到

\(\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E} + \mathbf{P}_{\mathrm{water}} + \mathbf{P}_{\mathrm{tartrazine}}\)

但我们知道，每种极化都与场成正比，具有各自的极化率：P(水) = ε₀ χ(水) E，以及 P(柠檬黄) = ε₀ χ(染料) E，其中 χ(染料)。代入后得到

\(\mathbf{D} = \varepsilon_0\left(1 + \chi_w + \chi_d\right)\mathbf{E}\)

与 D = ε₀εᵣE 比较，并利用纯水的 εᵣ(水) = 1 + χ(水) = n(水)²，染色水的相对介电常数为

\(\varepsilon_r = \varepsilon_{r,\mathrm{water}} + \chi_d = n_w^2 + \chi_d\)

对于稀染料，χ(染料) 与 n(水)² 相比很小，因此我们可以展开平方根并使用泰勒展开来得到含有染料的水的修正折射率。

\(n_c = \sqrt{n_w^2 + \chi_d} = n_w\sqrt{1 + \frac{\chi_d}{n_w^2}} \;\approx\; n_w + \frac{\chi_d}{2 n_w}\)

n_c 是复数。如果我们把它写成 n_c = n′ + iκ，并将我们得到的 χ(染料) 的电极化率分解为实部和虚部，染料会使实折射率发生偏移，并通过以下方式引入吸收

\(\Delta n' = n' - n_w = \frac{\mathrm{Re}\,\chi_d}{2 n_w}, \qquad \kappa = \frac{\mathrm{Im}\,\chi_d}{2 n_w}\)

并代入我们之前得到的 χ(染料) 的洛伦兹形式

\(\Delta n' = \frac{N e^2}{2 n_w \varepsilon_0 m}\,\frac{\omega_0^2 - \omega^2}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}, \qquad \kappa = \frac{N e^2}{2 n_w \varepsilon_0 m}\,\frac{\gamma\omega}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}\)

对于柠檬黄和红光，ω 低于共振频率 ω₀，因此 ω₀² − ω² > 0 且 Δn′ 为正。这意味着染料提高了水的折射率。同时 κ 的分子中含有 γω 因子，且仅在 ω ≈ ω₀ 附近较大，这意味着我们不会得到吸收。

参考文献

Ou Z, Duh YS, Rommelfanger NJ, Keck CHC, Jiang S, Brinson K Jr, Zhao S, Schmidt EL, Wu X, Yang F, Cai B, Cui H, Qi W, Wu S, Tantry A, Roth R, Ding J, Chen X, Kaltschmidt JA, Brongersma ML, Hong G. Achieving optical transparency in live animals with absorbing molecules. Science. 2024 Sep 6;385(6713):eadm6869. doi: 10.1126/science.adm6869. Epub 2024 Sep 6. PMID: 39236186; PMCID: PMC11931656.

² 这里是材料中电场和磁场的麦克斯韦方程组。这是由 Claude 生成的。

\(\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_f, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \qquad \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_f + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\)

\(\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_0 \varepsilon_r \mathbf{E}, \qquad \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{H} \quad \text{(non-magnetic)}\)

那么问题在于——这些与折射率有什么关系？

无自由电荷或电流 (ρ = 0, J = 0)，非磁性。法拉第定律表明，电场的旋度是磁场时间导数的负值。对法拉第定律取旋度，然后代入

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\,\nabla \times \mathbf{B}\)

安培-麦克斯韦方程，其中 J = 0：

\(\nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\)

代入 B = μ₀H 以及 D = ε₀E + P = ε₀εᵣE：

\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} = \mu_0 \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\)

这就是 εᵣ 引入的地方：极化电流 ∂P/∂t 加到真空位移电流之上。（设 εᵣ 不随时间变化，即在单一频率下工作）

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}\,\nabla \times \mathbf{B} = -\mu_0 \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}\)

\(\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^2 \mathbf{E} = -\nabla^2 \mathbf{E}\)

然后令两边相等，便得到平面波方程

\(\Rightarrow \quad \nabla^2 \mathbf{E} = \frac{\varepsilon_r}{c^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad c^2 = \frac{1}{\mu_0 \varepsilon_0}\)

平面波 E = E₀ e^(i(kz − ωt))

\(k^2 = \varepsilon_r \frac{\omega^2}{c^2}\)

与前文写出的衰减波 k = (n′ + iκ) ω/c 比较，

\(\varepsilon_r(\omega) = n_c(\omega)^2 = (n' + i\kappa)^2 = n'^2 - \kappa^2 + 2 i n' \kappa\)

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